Глава 2. Что такое «сколько будет»?
Глава 2. Что такое «сколько будет»?
В самом деле, что стоит за математическим знаком равенства, что это вообще означает «равняться» чему бы то ни было? Ведь если мы ставим своей задачей получить по возможности предельно конкретный ответ на поставленный с самого начала вопрос, мы обязаны до конца уяснить себе и эту его составляющую.
Очевидно, что и здесь прежде всего необходимо найти некое физическое (химическое, биологическое, социальное и так далее) содержание тех конкретных объектов, процессов, явлений, над которыми мы совершаем известные операции, и уже только потом восходить к каким-то более высоким обобщениям.
Имеет смысл предположить, что в контексте равенства речь должна идти о том, что совокупность свойств, характеристик, качеств слагаемых объектов, которые с самого начала берутся нами в учет, обязана быть строго тождественна, или по меньшей мере эквивалентна сумме свойств, характеристик, качеств некоего интегрального образования, получающегося в результате нашего «сложения». Действительно, если нет такого тождества или такой эквивалентности, – нет (и вообще не может быть) никакого равенства. Математическое равенство, как впрочем, и все в математике, – вещь очень и очень строгая поэтому до тех пор, пока сохраняется хотя бы какое-то – пусть даже микроскопическое – отличие, мы вправе говорить лишь о той или иной степени приближения к истине и не более того. Между тем никакой приблизительный результат нас удовлетворить не может, ибо математические задачи могут считаться решенными только там, где достигается абсолютная степень точности.
Но стоит нам только сформулировать такое предположение, как тут же появляется сильное сомнение в самой возможности достижения строгого тождества суммы исходных качеств с суммой конечных. Общие характеристики четырех метров колючей проволоки совсем не тождественны индивидуальным особенностям двух ежей и двух ужей. Интегральные свойства четырех единиц «домашнего скота» не тождественны качествам двух коров и двух лошадей. Причем нужно заметить, что такое сомнение по всей видимости заложено уже в самой природе человека, вернее сказать человеческого сознания, ибо с ним мы чуть ли не появляемся на свет.
Рассмотрим пример задачи, род которой, часто задают маленькие дети: кто «лучше», солдат, милиционер, или доктор? Слово «лучше» берется здесь в кавычки, по той простой причине, что чаще всего вообще непонятно, что именно имеет в виду ребенок. Но ведь ребенок-то ищет точный ответ на то, что занимает его пытливую голову, – и, самое удивительное, пользуясь какой-то своей логикой, находит его.
Анализ этой скрытой от внешнего взгляда логики показывает, что не знающий никаких формальных правил мышления ребенок тем не менее действует в полном соответствии со строгой методикой. В сущности то же самой, какой пользуются и отмеченные учеными степенями специалисты. Он выявляет условные основания количественного сравнения: скажем, «война», «порядок» и «болезнь» и ранжирует каждый из анализируемых объектов именно по ним. Поэтому по первому основанию (и совершенно справедливо) максимальную оценку получает солдат. Оно и понятно. Милиционеру, конечно, приходится быть готовым к встрече с каким-нибудь хулиганом, но все же до первого ему далеко. И потом, в пороховом дыму на поле славы в нарядном мундире в красивом строю под развевающимися знаменами солдат выглядит куда импозантней второго и уж тем более третьего. О докторе и вообще говорить не приходится, к тому же его белый халат и въевшийся запах карболки отдают чем-то не очень мужественным. По второму приоритет, разумеется, принадлежит милиционеру, наконец, по третьему – отдается доктору. Честное слово, не знаю, что думают по этому поводу глупые девчонки, но в достойной золота по мрамору системе ценностей взрастающего мужчины неоспоримый приоритет, по полному на то праву, принадлежит воинской доблести. Отсюда два солдата оказываются куда «лучше», чем два врача или два милиционера и даже все четверо последних вместе. Поэтому умей он считать, он с легкостью вывел бы логически безупречное заключение о том, что два врача и два милиционера вовсе не эквивалентны четырем солдатам.
Абсолютно строгое и, заметим, методологически выверенное решение! Кстати, оно со всей наглядностью показывает две весьма знаковые в рассматриваемом нами контексте вещи. Во-первых, то, что для ребенка, сознание которого еще полностью свободно от каких бы то ни было штампов, «два плюс два равно четыре» – это вовсе не абсолютная истина в последней инстанции. Во-вторых, то, что способность к выполнению сложных интеллектуальных операций формируется у всех нас еще в каком-то «досознательном» возрасте прямо из «воздуха» той этнокультурной среды, в которой мы появляемся на свет, и что именно она является непременным условием всего последующего интеллектуального развития человека. Просто сам этот «воздух» уже напитан многим из того, что за тысячелетия развития нашей цивилизации прочно вошло в состав диалектики.
Находимое ребенком решение – и с этим, наверное, согласятся многие – в значительной мере отражает реальную действительность: в боевой обстановке «среднестатистический» солдат и в самом деле куда более эффективен, нежели «среднестатистический» милиционер или (тем более) врач. Если, конечно, оценивать их всех именно по тому заранее избранному основанию, на каком строит свои выводы ребенок.
Но все же было бы абсолютно неправильно вслед за ним экстраполировать полученный вывод на каких-то конкретных персонажей. Этот, как и любой другой количественный результат, должен быть верен только для того уровня явлений, на котором он был получен. Получен же он был для совершенно отвлеченных бездушных и бесплотных начал. А именно – для некоторых совершенно абстрактных «функциональных машин», одна из которых приспособлена для выполнения, скажем, штыковой атаки, другая – для приведения в чувство каких-то хулиганов, третья для залечивания тех ран, которые могут получить и условный «солдат», и столь же условный «милиционер» в ходе выполнения своих профессиональных задач (ну, и, разумеется, для исцеления их маленьких пушистых любимцев). Но стоит только распространить вывод ребенка на «живого» дядю Степу, на известного всем доктора Айболита или на бравых вояк из ставшего классикой «мультика» о бременских музыкантах, как тут же обнаружится какая-то ошибка. И мужественный милиционер дядя Степа, и отважный доктор Айболит все в той же системе ценностей окажутся куда «лучше» этих жалких трусов.
Все это приводит к мысли о том, что в эти, казалось бы, безупречные расчеты вкрадывается какая-то серьезная методологическая ошибка. Как только от совершенно отвлеченных или даже полуабстрактных рассуждений мы переходим к «сложению» вполне реальных (или идентифицируемых с какими-то реальными людьми) персонажей, так сразу обнаруживается явно выраженная количественная аномалия, ибо конечный результат сложения оказывается иногда прямо противоположным тому, который прогнозируется очерченной только что логикой. И именно эта аномалия, именно обнаруживающаяся здесь непонятная «дельта количества» (которая к тому же может иметь еще и разные математические знаки) показывает, что в наших расчетах оказывается неучтенным какое-то таинственное дополнительное свойство, которое либо изначально было присуще всем нашим героям, но так и не обнаружилось нами, либо вновь возникало в самом процессе «сложения». Словом, вырисовывается незримое деформирующее логику действие какой-то таинственной «дельты качества».
Впрочем, ничего таинственного в этой «дельте» на самом деле нет, и в действительности мы легко учитываем ее влияние во всех своих расчетах. Вспомним: еще на уроках физики в средней школе мы привыкали внимательно следить не только за символами математических операций и знаками вводимых нами величин, но также и за физическим их содержанием, или, другими словами, их качественной определенностью. Действительно, мы умножали метры на секунды, массу на ускорение и так далее, но в результате всех этих вычислений нами получалось что-то совершенно отличное и от метров, и от секунд, и от килограммов. Поэтому многие ошибки были следствием не одной только арифметической неаккуратности, но и недостаточной внимательности в оценке физического, иными словами, качественного состава рассчитываемых нами величин. Поначалу калейдоскоп перемен того объективного содержания, которое стояло за всеми вводимыми величинами, вызывал у нас трудность. Однако со временем мы научались легко справляться с ней и автоматически отслеживать живую конкретику каждой переменной, включаемой в наши расчеты.
Рассказывают нечто вроде анектода из рубрики «физики шутят»: на одном ученом диспуте теолог с возмущением говоря о недостатках светского образования, приводил пример кощунственной попытки измерить Бога с помощью физических формул. Так Божественная сила определялась в примере, на который он ссылался, как произведение Божественной массы на Божественное ускорение. (Это и в самом деле кощунство, ибо применять к принципиально внематерильному Началу такие категории, как масса и ускорение – недопустимо.) Ему вторил физик. Суть его ответа сводилась к тому, что результат произведения должен давать «божественность» в квадрате. Однако если возможен квадрат Божественной силы, то что же тогда «просто» всемогущество Бога?
Словом, динамика качественного состава всех измеряемых нами величин имеет весьма и весьма существенное значение.
Но ведь все те отличия результата от исходного состава вводимых нами переменных, с которыми мы учились справляться в физическом классе, и есть проявление той самой «дельта качества», о которой говорится здесь.
Приведем другой вполне реальный пример – один из вариантов экономического расчета, составляющего элемент повседневной рутины практического управления любым производством. Этот расчет наглядно иллюстрирует то, как меняется качественная определенность рассчитываемых нами переменных и до какой степени эта определенность зависит от общего контекста анализа.
Представим: нам нужно ежемесячно перевозить один миллион тонн груза. Скажем, горной породы из некоторого карьера в отвал. Перевозка будет осуществляться на расстояние 5 км (специалисты называют это «плечом отката») со среднетехнической скоростью 20 км/час большегрузными автосамосвалами БЕЛаз-548, грузоподъемность которых округлим до 40 тонн. Задача состоит в том, чтобы рассчитать, сколько нужно машин и сколько водителей для выполнения этой работы. При этом примем, что наша условная фирма работает без остановок на выходные и праздники все 24 часа в сутки.
Не будем перегружать расчет излишними техническими деталями, существенными только для узких специалистов, предельно упростим его, сохранив, однако, физическое содержание всех анализируемых начал.
Итак. Прежде всего умножим наш миллион тонн на 12 (месяцев) и разделим на 40 (тонн грузоподъемности) и получим 300000 рейсов в год.
Далее. 300000 умножаем на 5 км и делим на 20 км/час. В результате получаем 75000 машино-часов.
Вновь опустим подробности, важные только для управленцев и нормировщиков, и поделим 75000 на 365 дней и еще на 3 смены в сутки. Получим 68, 49 единиц, которые, в зависимости от того или иного контекста расчета, примут размерность автомобилей или человек . Пусть нас не смущают дробные доли единицы: все экономические расчеты и в самом деле выполняются с такой, а иногда и с еще большей точностью.
Словом, мы видим, что качественное содержание результата меняется как в калейдоскопе: тонны и километры обращаются в рейсы, машино-часы и людей. При этом понятно, что каждая перемена всегда будет вносить что-то свое, с чем обязан считаться любой нормировщик. Сейчас мы это увидим.
Если мы говорим о персонале, то, оказывается, 68, 49 единиц – это вовсе не те живые люди, которых должен где-то на рынке труда нанять наш отдел кадров, но, так называемая явочная численность в смену, т.е. численность рабочих, которые должны выходить в каждую смену и садиться за «баранку» наших самосвалов. Но живые люди имеют свойство уходить в отпуск, проводить в кругу семьи выходные и праздники, иногда болеть, отпрашиваться у своего начальника по каким-то личным или семейным делам. Кроме того, кое-кому свойственно прогуливать и попадать в медвытрезвитель, и так далее. Поэтому списочная численность всегда будет несколько больше, ибо нужны дополнительные работники, которые должны заменять отсутствующих, поскольку, повторим, наше производство функционирует все 365 дней в году. Поэтому к окошку кассы, где выдается зарплата, в конечном счете выстраивается несколько большее количество людей, чем то, которое каждый день садится за « баранку» наших автомобилей. Существует свой порядок расчета всех отпусков и выходных дней, а также свои поправочные коэффициенты, позволяющие учитывать и все остальное.
Таким образом, списочный работник «качественно» отличается от явочного , ибо последний не знает ни выходных, ни каких-то домашних проблем, ни медвытрезвителя. Словом, переход от явочной численности к списочному штату диктует необходимость строгого учета очень многих параметров (среднюю норму заболеваемости, отвлечения на выполнение государственных и общественных обязанностей, отпусков по разрешению администрации и так далее) той самой «дельты качества», которая начинает действовать здесь. Таким образом, списочный работник (при 3-сменной круглосуточной работе) оказывается примерно в 4 раза «больше», чем явочный. Кстати сказать, в разных странах в зависимости от климатической зоны и степени вредности производства эта величина может варьировать. Поэтому приходится считаться не только с собственными особенностями «явочных» и «списочных» работников, но и с национальным законодательством, национальными системами охраны труда. Так, например, Российское законодательство предусматривает увеличенный ежегодный отпуск для работников Крайнего Севера, а также сокращенную продолжительность рабочей смены в условиях вредных производств. В то же время за рубежом подобные трудоохранные меры, как правило, не практикуются.
Если мы говорим о машинах, то те же 68, 49 – это еще не физические единицы, а только абстрактные расчетные величины. В сущности это такие же «явочные» автомобили, вернее сказать, машины, находящиеся в полной технической готовности. Но ведь машины, для того чтобы быть в полной технической готовности, требуют регулярного технического обслуживания и ремонта, иногда они попадают в аварию. Все это так же требует времени, в течение которого они оказываются в вынужденном простое, а значит, и здесь нужны свои поправки, учет какой-то своей «дельты качества». Поэтому и здесь переход к списочным автомобилям влечет за собой увеличение их количества по сравнению с уже рассчитанной величиной.
Заметим попутно, что и количественная аномалия, которую мы впервые обнаружили в детской задачке и с которой вновь сталкиваемся во вполне «взрослом» расчете, получает в последнем вполне логичное и доказательное объяснение. Поэтому, несмотря на то, что номинально у нас фигурируют одни и те же единицы, в отличии списочной численности от явочной мы уже не видим никакой ошибки, мы легко соглашаемся с тем, что верны оба результата, но понимаем, что каждый из них справедлив лишь для своего круга условий.
Таким образом, обобщая вывод, который сам собой напрашивается из приведенных примеров, можно сказать, что количественная аномалия, обнаруживаемая в наших расчетах, проступает как строгий индикатор какой-то (возможно, по невнимательности просмотренной нами) «качественной пересортицы». А значит, как строгий индикатор необходимости дальнейшего анализа. Уже отсюда можно сделать вывод о том, что «2+2=4» – это вовсе не запечатленный итог какой-то дискретной операции, но символ никогда не кончаемого процесса. Ведь дополнительный анализ кажущегося конечным результата обнажает перед нами совершенно новый пласт неведомого, который в свою очередь требует внимательного изучения. При этом вполне разумно предположить, что и следующий результат, тот самый, который должен будет пролить свет на этот новый пласт, образует собой лишь очередную ступень для следующего этапа восхождения.
Вглядимся пристальней.
Мы обнаружили, что результат любого сложения, да и любой операции количественного сравнения вообще, в первую очередь отвечает на вопрос: «что» будет?» и только во вторую – на вопрос: «сколько?». При этом «сколько будет?» в значительной мере зависит от того, «что» именно будет. Другими словами, все количественные параметры суммируемых (умножаемых, вычитаемых, делимых) нами свойств конкретных предметов, явлений, процессов будут зависеть от конкретных характеристик именно того нового объединяющего начала, к которому они приводятся. Все это самым непосредственным образом вытекает из того, что универсального «количества», универсальных шкал для измерения всего что угодно, как оказывается, в природе вообще не существует. Любое «количество» всегда строго индивидуально, поскольку нерасторжимо связано со строго определенным «качеством», то есть со строго определенным составом свойств, присущих лишь той или иной группе (виду роду, классу и т.д.) явлений. А значит, пригодно для измерения вещей, относящихся только и только к этим группам (видам, родам, классам и т.д.).
Но если так, то сплошь и рядом должны наблюдаться примеры того, когда трансформация качественной определенности, которая, как мы видели, неизбежна при сложении разнородных вещей, нарушает предсказываемые математикой соотношения. Почему же мы далеко не всегда видим эти нарушения? И не является ли их отсутствие в поле нашего зрения прямым опровержением всего того, о чем говорилось выше?
Впрочем, отсутствуют ли? Может, мы их просто не замечаем? А это уже совсем другое дело, ведь тот факт, что мы их не замечаем, вовсе не значит, что они не существуют вообще. Пример с детской задачкой наглядно подтверждает это. Но подобные ему примеры существуют сплошь и рядом не только в детском мышлении, но и во вполне «взрослой» жизни. Мы постоянно сталкиваемся с ними в нашей практике, но – вот парадокс! – очень часто и в самом деле в упор не видим и как бы проходим сквозь них. Вот, совсем иные иллюстрации, взятые именно их этой «взрослой» реальности. Водород представляет собой горючий газ. Кислород, как известно, хорошо поддерживает горение: в кислородной среде сгорают даже металлы и бетон. Отсюда справедливо было бы ожидать, что их соединение будет создавать какую-то страшно взрывную и опасную смесь. Однако в реальности два атома водорода и один атом кислорода порождают нечто прямо противоположное ожидаемому, а именно – химическое соединение, подавляющее огонь. Другой пример был известен еще нашим далеким предкам. Медь – это очень мягкий металл. Еще более мягкий металл – олово. Но их сплав рождает бронзу, твердость которой через тысячелетия была превзойдена только железом. Мы знаем, что открытие этого парадоксального факта в свое время совершило грандиозную технологическую революцию: еще из школьного курса истории известно о существовании так называемого бронзового века.
Иллюстрации такого рода можно было бы множить и множить. Но почему же тогда выученный в далеком детстве ответ с такой силой давит на наше сознание, что мы способны не замечать даже кричащие факты явного противоречия ему? Почему математические истины представляются нам чем-то незыблемым и универсальным? Почему наше сознание упорно настаивает на том, что результат любого сложения должен соответствовать ему, абсолютно независимо от того, что именно подвергается суммированию? Лошади ли, коровы, египетские ли пирамиды, страховые конторы, солдаты или милиционеры – почему каждый раз мы упорно ищем доказательство того, что итоговая сумма должна быть равна именно и только «четырем», независимо от природы слагаемых вещей? Почему мы всякий раз, несмотря ни на что, видим какой-то скрытый подвох, какой-то изощренный софизм, если не сказать заковыристый кульбит мысли, имеющий целью заставить ее потерять правильную ориентацию, когда нам доказывают что-то противоречащее затверженной истине? Почему в любой количественной аномалии мы склонны видеть только простую ошибку математического расчета и ничего более?
Но вглядимся в существо того, что именно суммируется в этом нисходящем к начальной школе примере.
Как только мы начинаем анализировать процедуру сложения, мы обнаруживаем, что ее результат – это вовсе не врожденная истина, но продукт какого-то очень сложного интеллектуального построения. По существу здесь мы сталкиваемся с примером одного из самых высоких уровней абстрагирования и обобщений. Ведь любые формы классификации явлений окружающего нас мира, которые тяготеют к условному основанию той пирамиды классов, родов, видов, что упоминалась выше, рано или поздно обнаруживают нарушающий строгость построений логический изъян, и этот изъян заставляет нас восходить на следующий уровень обобщений. Мы уже видели: для того, чтобы сложить лошадей и коров, нужно было взойти на уровень каких-то родовых понятий; для того, чтобы сложить домашний скот с пароходами, страховыми конторами или египетскими пирамидами, – на еще более высокую ступень, обобщающую памятники материальной культуры всей нашей цивилизации; чтобы прибавить к ним еще и фортепианные концерты Моцарта, – на следующую вершину абстрагирования, которая объединяет в себе все продукты человеческого творчества вообще… И так далее до самого предела. Но где же именно расположен конечный предел этого восхождения ко все более и более абстрактным понятиям? Что скрывает под собой тот высший уровень обобщений, который уже не может содержать в себе никаких логических изъянов, где уже решительно ничто не способно поставить под сомнение всеобщность и абсолютность результата математического сложения?
Думается, что ответ в конечном счете способен найти каждый, кто уже прошел начальную школу организации мышления. И этот ответ гласит о том, что самоочевидная математическая истина оперирует отнюдь не предметами, не физическими процессами, не реальными явлениями материального мира. Образно говоря, здесь фигурируют лишь некоторые условные, лишенные всякой определенности абсолютно безликие «ниши» нашего собственного сознания – и не более того. В этом смысле наше сознание может быть уподоблено какой-то огромной камере хранения, которая создается на вокзалах: ее одинаковые железные ячейки могут скрывать в себе все, что угодно от нехитрого багажа командированного чиновника до контрабандного наркотика. Каждая из этих «ниш-ячеек» – именно в силу своей пустоты – строго подобна и равна любой другой, и вместе с тем каждая из них способна вместить в себя все, что угодно: корову, страховую контору, фортепианный концерт, дядю Степу, бравого солдата Швейка и так далее. Правда, вместить все это в себя она может только «задним числом», только после выполнения каких бы то ни было операций количественного сравнения. Поэтому на самом деле, обращаясь к математическому расчету, мы складываем отнюдь не физические реалии окружающего нас мира, но всякий раз именно эти ничем не заполненные равновеликие «объемы» нашего сознания, и только получив какой-то результат, наполняем их подручным содержанием. А затем уже начинаем обманывать сами себя, самих себя, уверяя, что мы сложили именно конкретные вещи, которые обладают вполне конкретными характеристиками и свойствами.
Можно привести и другой образ – образ некоторого чистого ярлыка, на котором в принципе можно написать все, что мы захотим: «египетская пирамида», «паровой утюг», «бубновый валет» и так далее. Но что бы мы ни начертали на любом из них после выполнения каких-то количественных операций, он останется абсолютным подобием всем остальным, ничто не изменит его качественной определенности. Вернее сказать, его абсолютной неопределенности, безликости. Эта не заполненная ничем плоскость, точно так же, как и пустая «ниша» нашего сознания, существует исключительно в нем, является его и только его фантомом. Если угодно, – чистой фикцией. В мире объективной, то есть независящей от нашего сознания, и существующей вне его реальности ничего этого просто нет. Однако если все математические операции выполняются именно с этими виртуальными сущностями, то, получается, что во всем необъятном Космосе не найдется ни одного реального физического аналога того, что в действительности подвергается «чистому» математическому сложению.
Один из крупнейших математиков нашего времени, Бертран Рассел говорил: «Чистая математика целиком состоит из утверждений типа: если некоторое предложение справедливо в отношении данного объекта, то в отношении его справедливо некоторое другое предложение. Существенно здесь, во-первых, игнорирование вопроса, справедливо ли первое предложение, и, во-вторых, игнорирование природы объекта… Математика может быть определена как наука, в которой мы никогда не знаем, о чем говорим, и никогда не знаем, верно ли то, что мы говорим.»
Все это порождает вполне крамольный для обыденного сознания вопрос: если и в самом деле математика оперирует вещами, которые вообще не существуют в природе, которые являются лишь фантомами нашего собственного сознания, то и все ее законы – это отнюдь не законы природы, но предписанные последней принципы организации нашего собственного мышления?
Да это так: соотношение математических истин и законов функционирования нашего собственного сознания – это сложнейший вопрос, который не разрешен и по сию пору.
Более двухсот лет тому назад, в 1781 году вышла в свет «Критика чистого разума» (та самая, в которой и были заложены начала категориальной логики) Иммануила Канта. В сущности он первый, кто задался этим неожиданным вопросом.
До него неоспоримо господствовало мнение о том, что именно математические законы и принципы лежат в основе устройства всей Вселенной. Больше того, предполагалось, что сам Господь Бог руководствовался математикой при создании нашего мира.
Кант впервые ставит вопрос: как возможна чистая математика? То есть математика, истины которой справедливы сами по себе и абсолютно не зависят от нашего опыта, но вместе с тем, применимы ко всем его результатам. Словом, используя только что приведенные образы, все количественные соотношения между пустыми «нишами» нашего сознания или чистыми «ярлыками» вещей нисколько не зависят от того, что именно может быть положено в них, или начертано на пустых бланках.
Ответ Кант находит в том, что в основе математики лежат не какие-то объективные истины, не основополагающие законы природы, но жесткие схемы, в соответствии с которыми только и может функционировать наше собственное сознание. (Строго говоря, этот вывод нисколько не противоречил тому убеждению, согласно которому математические принципы являлись одними из принципов организации породившего этот мир Божественного разума. Ведь человек – это образ и подобие Бога, и если предположить, что над-материальное Существо могло оставить Свое подобие только в этой же над-материальной духовной сфере, человеческий разум оказывался отпечатком Божественного. А значит, и сам обладал возможностью предписывать какие-то законы нашему миру.)
По Канту в основе всех математических выводов лежат врожденные представления человека о таких предельно общих и отвлеченных началах, как пространство и время. Только созерцая градуированное нашим собственным сознанием пространство и по-разному комбинируя в собственной же «голове» какие-то его доли, мы можем получить какие бы то ни было представления о геометрии окружающего нас мира. Точно так же, только операции с равными интервалами скрыто созерцаемого нашим же сознанием времени дают нам представление обо всех числах. Поэтому все наши представления о количественной структуре реальной действительности опираются именно на эти внутренние созерцания. И не случайно Кант называет весь посвященный математике раздел своего исследования «трансцендентальной эстетикой» (не путать с трансцендентной!).
Таким образом, сам процесс и восприятия, и дешифрации, и последующей обработки всех тех сигналов, которые посылает нам вся окружающая нас среда, может соответствовать только тем схемам, которые порождены логикой именно этой «эстетики». Все то, что выходит за пределы ее жесткого заранее сформированного контура, обязано вообще проходить мимо нашего сознания. Не задевая его, как не задевают сознания не знающего грамоты человека все те откровения, которые изложены в книгах. Человек способен организовывать и осознавать свой собственный опыт лишь в строгом соответствии с ними. Поток всех чувственных восприятий вынужден просто подстраиваться под них. Они не просто неотъемлемая часть нашего общего умственного багажа, – это те единственно возможные рациональные схемы, в соответствии с которыми только и может обрабатываться и систематизироваться непрерывный поток сигналов, исходящих от внешней действительности. Поэтому вся математика представляет собой лишь выявление и анализ тех логических следствий, к которым эти схемы уже изначально (говоря языком Канта, – априори) обязывают нас.
Словом, и та строгая математическая гармония и тот жесткий порядок, которые царствуют в природе, отнюдь не свойственны ей самой по себе, но в действительности лишь проецируются на внешний мир нашим собственным разумом. Именно и только он предписывает миру все обязательные для исполнения законы.
Мы привели ссылку на Канта как бы в порядке самооправдания, только для того, чтобы показать, что сомнения в абсолютной истинности стереотипного ответа на вынесенный в заглавие вопрос – это вовсе не аберрация сознания, не кульбит софистической мысли, имеющий целью только запутать собеседника. Строго говоря, вопрос о том, почему получаемые чисто аналитическим путем, что говорится, «на кончике пера» математические истины все-таки подтверждаются нашим опытом, не решен и сегодня. Больше того, решать его, по-видимому, придется еще не одно столетие. И как бы в подтверждение этого мы видим, что не только сложнейшие, требующие предельного напряжения нашего интеллекта, построения высшей математики, но даже простейшая арифметическая задача обнаруживает сильную зависимость и от каких-то общих господствующих в совокупном сознании цивилизации идей, и от принятой в обществе методологии систематизации явлений. Оказывается, что вне этого «над-математического» аппарата даже простейшая арифметическая задачка никакого решения не имеет.
С Кантом спорят и по сию пору. И до сего дня очень многие видят в математике выражение некоторой абсолютной истины, которая кристаллизовала в себе обнаженную до голой схемы структуру самой объективной реальности. Однако и через двести лет с лишком многие соглашаются с ним…
Мы не ставим своей задачей разрешить вопрос о соотношении результатов абстрактных математических построений и реальной структуры окружающего нас мира. Но, не тяготея ни к одной из этих полярных позиций, мы вправе смотреть на математику, как на методологию человеческого познания. Вернее сказать, как на специфическую проекцию какой-то единой методологии познавательной деятельности человека, ибо математика, разумеется, не исчерпывает эту роль полностью.
Но если так, то любое противоречие тому результату, который прогнозируется ею, должно выступать не только как индикатор ошибки, но и как побудительный стимул к движению в каком-то новом направлении. Важно понять, что несоответствие результата «сложения» любой заранее затверженной истине – это далеко не всегда ошибка в построениях, не всегда дефект расчета, и способность разглядеть в этом несоответствии ориентир поиска того, «что» именно «будет» в результате такой операции, – представляет собой обязательный элемент квалификации исследователя. Если нет такой способности, нет и настоящего исследователя, есть лишь простой ремесленник.
Кстати, этот вывод остается справедливым, абсолютно независимо от того, что именно мы готовы признать в этой древней науке. Если, вслед за немецким философом (и крупным математиком, кстати, именно Канту принадлежит мысль о том, что в любой науке ровно столько истины, сколько в ней математики) мы ограничим ее только сферой «трансцендентальной эстетики», мы обязаны будем согласиться с тем, что любая количественная аномалия потребует не только перепроверки всех наших логических построений, но и дальнейшего исследования. Если же, напротив, мы увидим в ней отражение не зависящих ни от нашей воли, ни от нашего сознания отношений между явлениями внешнего мира, результат останется тем же самым: мы обязаны будем видеть в любом несоответствии указание не только на тщательную перепроверку выполненной процедуры, но и на необходимость проведения в первую очередь качественного анализа результата.
Словом, методологическая роль математики заключается в том, что, как бы мы ни относились к результату измерения и сопоставления, любая количественная аномалия безупречно выполненного расчета (понятно, что о математических ошибках речи вообще не может быть) должна расцениваться нами как стимул к дальнейшему поиску.
Но если так, то и обнаруживаемые нами противоречия в детстве затверженному выводу требуют своего разрешения, иными словами, обязывают нас продолжить исследование.
Поэтому вернемся к исходному предмету нашего анализа.
Мы видели, что для количественного сравнения разнородных вещей необходимо найти какой-то объединяющий их круг. Что это значит? Разделяемое многими решение заключается в последовательном восхождении от уровня единичных вещей, обладающих какими-то индивидуальными особенностями, к более широким обобщениям.
Операция обобщения представляет собой одну из ключевых процедур формальной логики, законам которой обязано подчиняться любое научное исследование. Она предполагает, что в ходе ее строгого и точного выполнения от анализируемых нами явлений последовательно отбрасываются все те отличительные их особенности и характеристики, которые присущи им и только им. Если эта операция выполняется правильно, то в результате должны остаться только те свойства, которые одновременно присущи сразу всем явлениям анализируемого круга. Именно совокупность этих свойств и образует собой содержание какого-то нового обобщающего понятия.
В схематичном виде ее можно представить следующим образом. Вообразим, что у нас есть три условных объекта (x, y, z) обладающих какими-то своими условными же характеристиками: x (a, b, c), y (a, c, d), z (b, c, e). Видно, что свойства «a», «b» присущи только двум объектам из трех, свойства «d» и «e» – только одному. Лишь качество «с» присуще сразу всем трем. Таким образом, мы вправе отбросить характеристики «a», «b», «d», «е» и выделить свойство «с» как объединяющее их основание. Именно по основанию «с» и оказывается возможным проводить количественное сравнение всех объектов.
Очерченная здесь интеллектуальная операция имеет большое значение в систематизации нашего мышления. Строго говоря, наука вообще начинается именно с обобщений. Дело в том, что индивидуальные характеристики вещей, процессов, явлений, то есть частные свойства, которые присущи лишь единичным объектам, не являются предметом научного исследования. Задача науки как раз и состоит в том, чтобы выявлять общие законы, правила, принципы. А это всегда абстрагирование от всего единичного.
На первый взгляд, операция обобщения, в том, разумеется, виде, в каком ее зачастую представляют учебные пособия, – это очень несложная и интуитивно понятная процедура. Но в действительности вся ее простота и самоочевидность – не более чем иллюзия обыденного сознания. В сущности точно такая же, как и иллюзия того, что несоответствие когда-то выученному результату анализируемого нами сложения – это всегда ошибка. Реальная действительность и в этом случае (как, впрочем, и всегда) оказывается не только значительно сложнее, но и куда интересней.
Во-первых, последовательно отбрасывая все, что составляет отличительные особенности единичных вещей, мы значительно обедняем то, что входит в общий круг нашего познания. Иными словами, познаем вовсе не «живую» действительность, но только сильно упрощенную – а значит, до некоторой степени деформированную – ее модель. Больше того, там, где отбрасываются все индивидуальные свойства и в расчет принимаются только те характеристики, которые одновременно свойственны целому классу вещей, сами вещи попросту исчезают. Остаются лишь некоторые абстрагированные от всего осязательного, конкретного условности. Иначе говоря, не множество живых организмов, каждый из которых отличен от всех других, но какие-то «одноклеточные», не собрание ярких индивидуальностей, обладающих своим характером, темпераментом, интеллектом, опытом и так далее, но категория солдат, врачей, милиционеров, не пестрота разноликой живности, обитающей рядом с человеком, но род «домашнего скота» и так далее.
Правда, благодаря абстрагированию от индивидуальных особенностей всего единичного и выявлению общих черт, присущих сразу всем явлениям какого-то класса, появляется возможность обращаться со всеми вещами, объединяемыми по некоторому признаку, как с однородными. А следовательно, появляется возможность проводить с ними все операции количественного сравнения. Но при этом нужно постоянно понимать, что все эти операции проводятся уже не с самими вещами, но с некоторыми замещающими их сущностями, которые вбирают в себя лишь ограниченную часть характеристик, изначально свойственных самим вещам. Так в приведенном примере мы подвергаем количественному сравнению уже не исходные объекты (x, y, z), но не имеющие с ними почти ничего общего абстрактные образования, наделенные свойством «с».
Путь такого восхождения к обобщающим понятиям может продолжаться вплоть до того момента, когда от начальных явлений, вещей, процессов останутся только те пустые и безликие «ниши» нашего сознания, о которых уже говорилось выше.
Правда, считается, что с неизбежной здесь утратой конкретности можно пожертвовать ради строгости количественного анализа, ибо именно этим и достигается безупречность конечных выводов. В предельной же точке такого последовательного абстрагирования точность наших вычислений достигает абсолюта. И математика предстает как своеобразный гимн именно этому абсолюту, как его апофеоз. Но в самом ли деле на пути последовательного отсечения всех индивидуальных отличий можно достигнуть безупречной строгости и непогрешимости результата? Ведь если в итоге мы судим не о самих вещах, но только об их весьма упрощенных моделях, то какое отношение достигаемая точность имеет к ним самим?
Во-вторых, очерченная выше логическая операция обобщения в чистом виде не может быть выполнена. Больше того, справедливо было бы сказать: не может быть выполнена ни при каких обстоятельствах. Ведь если бы все обстояло так просто, как это изложено в учебных пособиях по начальному курсу логики, наукой без особого труда мог бы заниматься любой. Но вот проверочный тест: попробуем дать исчерпывающее (то есть не упускающее из себя решительно ничего, что должно было бы подпадать под него) и точное (то есть не включающее ничего лишнего) определение все тем же общим понятиям, которые уже фигурировали здесь: «лошадь», «корова», «страховая контора», та же «египетская пирамида» и так далее. Думается, любой способен обнаружить, что эта задача требует огромного напряжения отнюдь не только логических способностей, но и мобилизации всех наших знаний об окружающем нас мире. Но несмотря ни на какие усилия мысли тот или иной изъян в определениях все равно будет обнаруживаться.
Впрочем, такая задача вообще не по силам никому одному: история мысли показывает, что общие понятия формируются целыми поколениями ученых и формируются совсем не тем путем, какой был очерчен выше. Дело в том, что любое обобщение – это не только исключение каких-то индивидуальных характеристик, но и выявление каких-то дополнительных (до поры вообще неизвестно откуда возникающих) свойств. Может быть, даже и жестче: не столько отсечение индивидуального, сколько определение новых качеств, присущих новому уровню явлений.
Кстати, уже приводившийся нами вывод Маркса, как бы сегодня мы ни относились к его учению, демонстрирует нам именно это. С одной стороны, его обобщение стало одним из величайших открытий, когда-либо сделанных человеком, но это открытие не свершилось вдруг, на пустом месте, его подготавливали и великие экономисты, и великие философы. С другой, – воплощенный в любом товаре живой труд – то единое основание, по которому и проводится сравнение всех товарных ценностей, – демонстрирует нам субстанцию, принципиально отличную от вещественной природы любого отдельно взятого товара.
Поэтому нужно дополнить сделанный выше вывод следующим утверждением: там, где речь идет о разнородных сущностях, все операции количественного сравнения проводятся не с самими вещами, но с какими-то заместительными понятиями, которые, с одной стороны, вбирают в себя лишь ограниченную часть характеристик, изначально свойственных самим вещам, с другой – обретают какие-то дополнительные свойства. При этом важно понять, что те дополнительные качества, которые вдруг обнаруживаются нами, порождаются отнюдь не собственной природой исходных начал, они являются атрибутами совершенно иного, зачастую значительно более широкого, круга явлений. Все это мы уже видели и в детстве, когда от абстрактных функциональных машин, приспособленных к условной ли штыковой атаке, борьбе ли с хулиганами или к лечению чужих ран, мы переходили к конкретным лицам, воспринимавшихся нами тогда в качестве вполне живых персонажей, и во студенчестве, когда от многообразия товаров переходили к стоимости.
Словом, мы вновь видим, что любые количественные «аномалии» могут свидетельствовать не только о некорректности расчета, но и являются индикатором того, что в наш расчет вмешивается какой-то дополнительный, ранее неопознанный фактор.
Обратимся к общеизвестному.
Геродот, рассказывая о лидийцах, упоминает такой факт из истории этого древнего народа. Когда земля, на которой они обитали, была уже не в состоянии прокормить ставшее многолюдным племя, часть народа была вынуждена сесть на корабли и искать счастья у чужих берегов. «Сначала лидийцы терпеливо сносили нужду, а затем, когда голод начал все более и более усиливаться, они стали искать избавления, придумывая разные средства. Чтобы заглушить голод, они поступали так: один день все время занимались играми, чтобы не думать о пище, а на следующий день ели, прекращая игры. Так лидийцы жили восемнадцать лет. Между тем бедствие нее стихало, а еще даже усиливалось. Поэтому царь разделил весь народ на две части и повелел бросить жребий: кому оставаться и кому покинуть родину. Сам царь присоединился к оставшимся на родине, а во главе переселенцев поставил своего сына по имени Тирсен. Те же, кому выпал жребий уезжать из своей страны, отправились к морю в Смирну. Там они построили корабли, погрузили на них всю необходимую утварь и отплыли на поиски пропитания и [новой] родины.»
Мы знаем, что в древнем мире такая стратегия не была чем-то исключительным. Греки, а в еще большей степени финикийцы именно таким образом заселили все берега Средиземноморья. Да и впоследствии этот сюжет повторялся неоднократно: так поступали викинги, так заселялась Америка… словом, вынужденное переселение – это весьма рациональный способ разрешения демографических проблем. Но вот что важно: бесконфликтное его исполнение свидетельствует об очень высоком уровне общественного устройства. Если угодно, – даже об очень высоком уровне общественной морали.
Но вот пример совсем из другой жизни: колонии самых примитивных одноклеточных организмов, испытывая дефицит пищи, вдруг сбиваются вместе и начинают формировать какую-то сложную конструкцию, что-то вроде плотного кома, опирающегося на тонкую длинную ножку. Как только длина этой ножки достигает критической величины, ком отрывается и движением воздуха относится на новое место, где образуется новая колония.
Таким образом, все это очень сильно напоминает известный еще из Геродотовской Истории сценарий. Но если он реализуется даже на уровне одноклеточных организмов, приходится предположить, что способность действовать в соответствии с этой вечной стратегией каким-то таинственным образом формируется не только в человеческом, но и в любом живом сообществе вообще.
Трудно предположить, что такая стратегия заранее заложена в генетической памяти каждой отдельно взятой клетки. Поэтому необходимо признать, что там, где из отдельных, наделенных своими особенностями индивидов формируется новый уровень организации живой материи – сообщество организмов, вдруг появляются и какие-то новые свойства, которыми не обладают индивиды . Но если так, то все эти и, возможно, какие-то иные, о существовании которых мы пока еще и не догадываемся, качества, не присущие отдельно взятым индивидам, в свою очередь должны входить в итоговую сумму. Поэтому, строго говоря, там, где в результате интеграции единичных вещей в некую общность формируются дополнительные свойства, «два плюс два» равно не «четырем», но некоторой сумме, состоящей из «четырех» и какой-то «дельты качества».
Именно эта не всегда заметная (но всегда существующая!) «дельта качества» и концентрирует в себе то, что в действительности отличает один уровень явлений от другого.