Игры с нулевым результатом

Игры с нулевым результатом

В игре типа «победитель получает всё» каждая ячейка в матрице выигрышей будет включать и победителя, и побежденного. В приведенном ниже примере два игрока одновременно передвигают покерные фишки по столу.

В этой игре нет уравнения Нэша для чистой стратегии – у игроков нет возможности получить максимальную выгоду одновременно.

Давайте взглянем на уравнения смешанной стратегии, где каждый игрок делает свой выбор с определенной вероятностью (мы снова будем исходить из того, что в этой игре много раундов). Игрок подбрасывает монетку, чтобы решить, двигать ему фишку вверх или вниз. В результате он случайным образом выбирает то или иное направление в 50 % случаев. Следовательно, ожидаемый выигрыш при передвижении фишки влево составит:

EP_влево = (0,5) (–3) + (0,5) (1) = –1.

При передвижении фишки вправо ее ожидаемый выигрыш будет равен:

EP_вправо = (0,5) (2) + (0,5) (0) = 1.

Поэтому, если игрок подбрасывает монетку, чтобы решить, двигать ему фишку вверх или вниз, он должен выбрать движение фишки вправо в качестве чистой стратегии, потому что в этом случае ожидаемый выигрыш будет выше, чем при передвижении фишки влево. Поскольку он это знает, то не собирается делать рандомизированный выбор, подбрасывая монетку.

Как мы уже видели, анализ с помощью теории игр позволяет воспользоваться алгеброй для создания идеального уравнения Нэша для смешанной стратегии. Снова выявляем точку безразличия соперников среди прочих чистых стратегий. Вероятность того, что игрок («он») передвинет фишку вверх, становится неизвестной величиной ?_Вверх, которую мы должны определить. Если он будет двигать фишку вверх с вероятностью ?_Вверх, которая уже известна, вниз ему придется двигать фишку с вероятностью (1 – ?_Вверх). Поэтому мы вычисляем ожидаемый выигрыш для другого игрока (для «нее») следующим образом:

ЕР_влево = (?_Вверх) (–3) + (1 – ?_Вверх) (1) = –4?_Вверх + 1.

ЕР_вправо = (?_Вверх) (2) + (1 – ?_Вверх) (0) = 2?_Вверх.

Теперь примем, что ЕР_влево = ЕР_вправо, чтобы вычислить значение ?_Вверх, которое сделает ее безразличной к сделанному ею выбору. Вот эти вычисления:

ЕР_влево = ЕР_вправо

–4?_Вверх + 1 = 2?_Вверх

1 = 6?_Вверх

?_Вверх = 1/6.

Обобщим все вышесказанное. Если он двигает фишку вверх с вероятностью 1/6 и вниз с вероятностью 5/6, с точки зрения ожидаемых выигрышей она остается безразличной. Более того, она не может сыграть лучше, передвигая свою фишку влево или вправо, когда он пользуется смешанной стратегией.

Теперь давайте посмотрим на ситуацию с точки зрения ее действий и его выигрышей. Вычислим вероятность того, что она передвинет фишку влево, ?_Влево и вправо, ?_Вправо, чтобы он был безразличен к ее смешанной стратегии. Начнем с вопроса, какими будут его ожидаемые выигрыши.

ЕР_Вверх = (?_Влево) (3) + (1 – ?_Влево) (–2) = 5?_Влево + 2.

ЕР_Вниз = (?_Влево) (–1) + (1 – ?_Влево) (0) = —?_Влево.

Затем находим вероятность равноценности (indifference probability) ?_Влево с помощью следующего уравнения:

ЕР_Вверх = ЕР_Вниз

5?_Влево + 2 = —?_Влево

6?_Влево = 2

?_Влево = 1/3.

Мы обнаружили, что он будет оставаться безразличным к ее смешанной стратегии, если она передвинет фишку влево с вероятностью 1/3, а вправо – с вероятностью 2/3.

Если мы соединим смешанные стратегии обоих игроков, получим уравнение Нэша для смешанной стратегии для игры в целом. Следовательно, даже при условии, что у нас нет уравнения Нэша для чистой стратегии, игра позволяет составить уравнение смешанной стратегии.

Эта стратегия работает и в отношениях, когда партнеры обмениваются с некоторой вероятностью различными поведенческими проявлениями: улыбками, совместным поеданием обеда или предложениями заняться сексом. То, что решение уравнения Нэша для игры может существовать, даже когда чистая стратегия невозможна, открывает большие возможности. Мы можем применить это уравнение к принятию и отклонению предложения заняться сексом с партнером.