Математика

Математика

Во все времена мыслители с благоговением и завистью относились к силе и безупречности математики. В качестве сконструированной системы она имеет свои собственные истины. Она очень близка к настольной логике, но вместе с тем математику требуются значительные навыки восприятия, когда он имеет дело с различными вариантами решения и направлениями мысли.

Рассматривая невероятный потенциал математики в технической сфере (атомная энергетика, сверхзвуковая авиация, полеты на Луну), интересно видеть, какой поистине ничтожный эффект при этом произвела математика на человеческое поведение и отношения. Косвенным образом технологические изменения, такие как компьютеризация и ядерное оружие, имели немалые последствия для социальной сферы, но прямым эффектом могут считаться лишь статистические методы, которые обеспечивают достоверность социологических исследований и опросов общественного мнения, а также методы подсчета голосов на выборах. Это, возможно, преувеличение, однако разница все равно вполне очевидна.

Возможности математики ограничены — не в абсолютном смысле, поскольку всегда будут изобретаться новые методы, призванные расширять диапазон наших возможностей, но в практическом. До того как теория хаоса получила развитие в недавнее время, математика имела дело в основном с линейными системами и небольшим количеством случаев нелинейных систем. Работа над теорией хаоса некоторым образом расширила нелинейный диапазон математики. Компьютеры и интерактивные процессы со временем расширят его еще больше. Возможности, предоставляемые компьютерами для проведения математических экспериментов (постановка задачи, проверка метода решения, получение результата), явились значительным шагом вперед в развитии этой науки, хотя математики традиционной школы поначалу смотрели на компьютеры с недоверием.

Однажды меня попросили выступить перед Математическим обществом Кембриджского университета (данная встреча собрала, как мне говорили, самую большую аудиторию за всю историю общества). Позднее я имел беседу с группой студентов, занимавшихся исследованиями в узкоспециализированной области математики. Как сказал мне один из них, возможно, всего человек шесть во всем мире понимали тот вопрос, над которым он работал.

Коль скоро игра, которую представляет собой математика, получила развитие, имеется возможность играть в нее во всех направлениях, и некоторые из них представляют собой очень специализированные направления. Специализация также означает деление на узкие секторы, сопровождающееся растущей невозможностью межсекторного взаимодействия. Данный недостаток присущ ходу развития математики.

Однажды меня обвинили в том, что я математик, «не обремененный математикой». В этом есть доля истины, поскольку меня интересуют взаимоотношения внутри сложной системы и поведение в пространстве особого типа, определенном в соответствии с правилами функционирования нервных сетей. Как Евклид наблюдал за поведением прямых в двухмерном пространстве, так и я смотрю на поведение активных состояний в самоорганизующемся паттерн-пространстве. Как физик-теоретик создает концептуальную модель, которая должна одновременно соответствовать реальности и находить практическое применение, так и я пытаюсь уместить существующее неврологическое знание в рамки определенной модели и найти ему практическое применение.

За пределами статистики математика не столь уютно себя чувствует с нечеткой логикой[30], неопределенностями, сложными интерактивными системами и нестабильными состояниями, хотя определенный прогресс наблюдается во всех этих областях.

Один из важнейших факторов, ограничивающих возможности математики, относится не к самой математике, а к переводу понятий на язык математики. Как нам перевести, к примеру, «справедливость» и «счастье» в символы или формы, подходящие для того, чтобы их можно было обработать средствами математики? Как определить сдвиг в отношениях с требуемой точностью? Абсолютная точность не нужна, поскольку математика может оперировать вероятностными величинами, но консенсус все равно необходим.

Возможно, со временем нам придется отказаться от нашего обычного языка, основанного на переменчивом восприятии, при работе с фундаментальными вещами. Вместо того чтобы использовать слово «счастье», мы, например, будем измерять концентрацию определенных элементов в крови. Сможем ли мы также находить решение, определяя, как ведут себя во времени концентрации некоторых химических агентов? Если бы мы даже научились все это делать, интерактивная сложность всей системы сделала бы задачу немыслимо трудной.

Великому французскому математику Декарту (чье имя получила прямоугольная система координат) однажды поведали историю о том, как Архимед поджег наступающие римские суда, направив на них солнечные лучи. Будучи математиком, Декарт пришел к выводу, что для выполнения такой задачи потребовалось бы вогнутое зеркало очень большого диаметра. Поскольку это было явно за пределами технических возможностей того времени, данная история, на его взгляд, являлась очередным мифом, в который верят люди, не знающие математики. Пятьдесят лет спустя другой француз провел практический эксперимент и показал, что это возможно, если использовать плоские цельнометаллические щиты греческих воинов того времени. Идея состояла в том, что такое «зеркало» могло быть сделано из отдельных плоских фрагментов и даже не должно было быть единой поверхностью. Каждый солдат просто использовал бы свой щит, направляя лучи солнца в одно и то же место. Таким образом, математические выкладки Декарта были верными, зато исходные предпосылки — нет.

В 1941 году математик по имени Кэмпбелл взялся доказать, что для полета на Луну масса ракеты на старте должна быть около миллиона тонн. Расчеты, выполненные им, были верны, однако технология ракетного топлива допускала гораздо меньшую массу ракеты на старте.

В течение многих лет различные ученые утверждали, что доказали невозможность изобретения летательного аппарата, приводимого в движение мускульной силой человека, поскольку человеческое тело не в состоянии генерировать достаточно силы, чтобы поднять в воздух аппарат, способный выдержать вес человека. Моему другу Полу Маккриди это все же удалось, и тем самым он заслужил премию Кремера[31]. Это стало возможным благодаря изменению исходной концепции полета и наличию более прочных и легких материалов.

Все эти три истории показывают, что математика может давать верные выводы, однако при этом неверными являются начальные предпосылки, концепции и знания.

Экономисты находят большое удовольствие в конструировании сложных моделей с множеством связей, симулирующих реальную экономическую деятельность. Считается, что такие модели способны помочь в прогнозировании, например того, что случится при повышении процентной ставки по кредитам на 1 процент. Недостатком является то, что подобные модели могут принимать во внимание только наши теперешние предпосылки и восприятия. В прошлом рост банковской процентной ставки порой отпугивал многих от взятия денег в кредит для покупки дома. Сегодня же, с учетом растущей осведомленности людей в финансовых вопросах и богатства источников информации по различным финансовым нюансам, рост процентной ставки может служить сигналом для инфляционных опасений, в результате имеет место стремление вкладывать все больше денег в недвижимость, защищенную от инфляции. Поэтому старая модель, отражающая прошлые взгляды на мир, становится бесполезной.

Сегодня экономическое поведение примерно на 70 процентов обусловлено психологическими и перцепционными факторами и лишь на 30 — математико-рациональными.

Отнюдь не подвергая сомнению величие математики, мы должны признать, что эта наука оказывает небольшое прямое воздействие на человеческие отношения ввиду того, что область применения математики ограничена, и по причине трудности перевода человеческих отношений с достаточной определенностью на язык, подходящий для обработки его математическими средствами.