1.4. Линейные пространства

Пусть имеется множество М, состоящее из элементов произвольной природы. Пусть также над этим множеством задана операция сложения, и относительно этой операции данное множество М образует абелеву группу (группа относительно операции сложения часто также называется аддитивной группой или модулем). Если при этом имеется также некоторое поле К, элементы которого будут называться скалярами или коэффициентами, и определено умножение элементов К на элементы М, удовлетворяющее следующим требованиям. Для любых ?х, у ? М и a,b ? K: 1) хa лежит в М; 2) (х + у) а = ха + уа; 3) х (а + в) = ха + хв; 4) х1 = х; 5) х (ав) = (ха) в. Множество М в таком случае называется линейным пространством. В линейном пространстве операция умножения является внешней операцией. Таким образом, каждый элемент пространства может быть представлен уже не только как комбинация каких-то его элементов, но и как результат некоторого внешнего действия на какой-то его элемент. Очевидно при этом, что результат внешнего действия обязательно лежит в М.

Приведем некоторые важнейшие примеры задания линейных пространств.

Пусть множество векторов задано в трехмерном евклидовом пространстве. Два вектора считаются равными, если равны их длины, а сами векторы направлены в одну и ту же сторону. Нулевым вектором является вектор нулевой длины. Сложение векторов производится по правилу параллелограмма, умножению на скаляр соответствует растяжение вектора. В качестве поля скаляров используется поле действительных чисел. Легко проверить, что заданное множество векторов относительно операции сложения образует модуль, а операция умножения на действительное число удовлетворяет перечисленным требованиям.

Пусть множество М состоит из всевозможных упорядоченных наборов действительных чисел по k чисел в каждом. Упорядоченность набора означает, что числа определенным образом занумерованы, при этом они, однако, не обязаны быть различными. Пусть элемент х ? М задан набором х = {х₁, х₂…. х_к}, а элемент у = {у₁, у₂, …, у_к}. Элементы х и у будут равны в том и только в том случае, если х₁ = у₁, х₂ = у₂, …, х_к = у_к Определим линейные операции в М следующим образом:

где а – коэффициент из поля действительных чисел. Нулевым элементом в множестве М является набор 0 = {0,…, 0} противоположным элементом элемента х является элемент – x = {—х₁, ………, – х_k } Легко видеть, что множество М образует аддитивную группу. Предоставляем читателю проверить, что умножение наборов действительных чисел на действительное число по правилу (19) удовлетворяет требованиям 1)—5). Таким образом, множество М образует линейное пространство. Такое пространство является хорошей моделью психологического теста в его статическом варианте. Пусть имеется некоторое множество заданий (вопросов или утверждений), называемых тестовыми пунктами, и множество людей, называемых испытуемыми, которые, указывая некоторое действительное число, выражают степень своего согласия с утверждением тестового пункта (либо другие люди, называемые экспертами, указывают степень выполнения задания). Обычно для ответов испытуемым предлагается заранее заготовленный набор (целых) чисел, например от единицы до пяти или десяти, иногда также для ответа предлагается отрезок прямой, на котором испытуемый точкой отделяет часть, соответствующую степени его согласия. Тем или иным способом каждому испытуемому в результате тестирования ставится в соответствие набор действительных чисел, упорядоченный в соответствии с порядком предъявления испытуемому тестовых пунктов. Далее наборы, полученные для всех испытуемых, складывают по правилу (19). Полученный в результате сложения набор умножается на коэффициент, равный единице, деленной на количество испытуемых, подвергшихся тестированию. Таким образом, полученный набор называют психологической нормой теста для данной группы испытуемых. Если противоположный норме набор сравнить с набором, полученным в результате ответов конкретного испытуемого, то полученный результат называется характеристикой данного испытуемого в данной группе по данному тесту. Если протестированная группа испытуемых достаточно велика и разнообразна (со статистической точки зрения), т. е. является репрезентативной относительно генеральной совокупности, то можно говорить просто о характеристике испытуемого по тесту.

Итак, результаты психологического тестирования представляют собой векторы (упорядоченные наборы чисел также иногда называют k-мерными векторами) некоторого линейного пространства. Это линейное пространство в свою очередь, рассматривается как пространство того психологического свойства, которое подверглось тестированию. Результаты оформляются в виде таблицы.

Такая таблица называется матрицей. Обычно используют также сокращенную запись

При сложении матриц складываются числа с равными индексами (расположенные на одних и тех же местах). При умножении каждое число матрицы умножается на скаляр с из поля действительных чисел. Пространство матриц имеет широкое применение при обработке данных социально-психологического исследования.

Пространство непрерывных функций. Для построения этого пространства на числовой оси выделяется некоторый отрезок. В множестве функций непрерывных на этом отрезке операции сложения и умножения на число задаются так, как это принято в математическом анализе (см.: Валлон, 1967). Это пространство используется в математической теории тестов, а также для моделирования отдельных психологических процессов и явлений (Ананьев, Дворяшина, Кудрявцева, 1968). Для нас будут важны следующие два свойства пространства непрерывных функций:

1. Если часть системы функций линейно зависима, то и вся система линейно зависима. Для доказательства нужно записать линейную комбинацию той части системы, которая является линейно зависимой: ?а + ?в = 0. Далее мы хотим приписать к этой нетривиальной линейной комбинации все остальные элементы системы с коэффициентами нуль и получим вновь нетривиальную линейную комбинацию, но уже для всей системы:

2. Если вся система линейно независима, то и любая ее часть линейно независима.

В дальнейшем нас будут интересовать только те случаи, когда максимальное число линейно независимых элементов линейного пространства конечно. Такие линейные пространства называются конечномерными. Дадим следующее определение: линейно независимая система элементов, через которые линейно выражается каждый элемент линейного пространства, называется базисом пространства. Число элементов базиса называется размерностью линейного пространства. Размерность пространства М обозначается dim M. Ясно также, что в k-мерном линейном пространстве любая система из k линейно независимых элементов образует базис, а любая система из k + 1 элемента является линейно зависимой. Тогда если элемент базиса обозначить е_i, то любой элемент системы представим как линейная комбинация элементов базиса:

Линейную комбинацию (22) называют разложением элемента х по базису, а коэффициенты при элементах базиса называются координатами элемента х относительно базиса Е. Легко показать, что разложение элемента а относительно некоторого фиксированного базиса Е единственно. Докажем это утверждение. Пусть имеется два разложения х по базису Е:

Вычтем из первого равенства второе:

В силу того, что элементы базиса линейно независимы, то из равенства их линейной комбинации нулю следует равенство нулю всех коэффициентов в равенстве (23), а, следовательно, коэффициенты в разложениях (23) равны, и разложение элемента х по базису Е единственно.

Вернемся к примеру координатного пространства как модели психологического теста в его статическом понимании. Мы можем рассматривать пункты теста как элементы базиса линейного пространства. Ответы испытуемого выступают в этом случае как координаты. Очевидный смысл приобретает в этом случае и сумма координат как интегральный результат тестирования. Зададимся, однако, вопросом: всегда ли число тестовых пунктов равно размерности «пространства теста»? Представим себе, что на каких-то два тестовых пункта все испытуемые данной группы ответили совершенно одинаково. Составим матрицу первичных данных, где по строкам написаны ответы испытуемых на тот или иной тестовый пункт, а по столбцам – результаты применения тестовых пунктов к тому или иному испытуемому. Ясно, что в указанном случае в матрице первичных данных будут иметь место два совершенно одинаковых столбца. Очевидно, что столбцы матрицы так же, как и строки, могут быть рассмотрены как элементы некоторого (но не одного и того же) линейного пространства. Размерность этого пространства будет равна максимальному числу линейно независимых столбцов матрицы. Обозначим число столбцов матрицы о, среди них имеется, как уже говорилось, два равных столбца. Ясно, что линейная комбинация этих двух столбцов с коэффициентами разных знаков будет равна нулю, и, следовательно, эти два столбца линейно зависимы. Выше мы доказали, что если часть системы линейно зависима, то и вся система линейно зависима. Следовательно, все множество столбцов матрицы является линейно зависимым и размерность соответствующего линейного пространства меньше, чем число столбцов. При построении психологических тестов такие «линейно зависимые пункты» (ясно, что для того, чтобы тестовые пункты были линейно зависимы, они не обязательно должны быть равны, но могут также отличаться коэффициентом) объединяются в субтесты, которые уже являются линейно независимыми. Таким образом, размерность пространства тестовых пунктов равна числу субтестов в указанном выше смысле.

Подведем теперь итоги рассмотрения линейного пространства как модели психологического теста, а следовательно, и модели тестируемого свойства. Пусть у вас имеется набор тестовых пунктов, направленных на выявление у испытуемого некоторого психологического свойства. Моделью интересующего нас свойства в данной группе испытуемых будет множество ответов испытуемых, которое, как мы видели, можно рассматривать как линейное пространство. Далее, если тестовые пункты подобраны таким образом, что испытуемые дают на них существенно различные ответы, то размерность линейного пространства, моделирующего интересующее нас свойство (линейное пространство данного свойства), в точности равна числу тестовых пунктов и не зависит от числа испытуемых. Из этого следует, что строение линейного пространства свойства не зависит от размеров выборки испытуемых. Этот факт лежит в основе интерпретации свойства, полученного посредством статического (а не психодинамического) тестирования группы испытуемых, как модели психологического свойства, присущего данному конкретному испытуемому.