1.5. Метрические пространства

Попробуем теперь с несколько иной точки зрения подойти к изучению пространственных моделей психологических явлений, а именно с точки зрения функциональных отношений между элементами пространства. Говорят, что множество Х наделено структурой метрического пространства или что Х есть метрическое пространство, если определена функция, ставящая в соответствие каждой паре декартова квадрата множества Х число из поля действительных чисел d: X ? X ? R, удовлетворяющая условиям:

где x₁, x₂, x₃ – произвольные элементы множества X.

Функцию d называют метрикой или расстоянием в X.

Само метрическое пространство есть, таким образом, пара (X,d). Очевидно, что структура метрического пространства полностью определена тем, как задана в нем функция расстояния или метрика. Заметим, что из неравенства треугольника, если положить х₁ = х₃, следует, что d(х₁, х₂) ? 0. Таким образом, функция расстояния принимает только неотрицательные значения. Приведем некоторые примеры.

Множество действительных чисел является метрическим пространством, если определить расстояние между двумя числами равным абсолютной величине их разности: d(х₁х₂) = (х₁ – х₂). На множестве Rⁿ обычно вводят одну из следующих метрик:

где р ? 1. Подставляя различные значения р в (25) мы можем получать различные метрики в пространстве Rⁿ, в том числе и метрику плоскостных изображений, в случае если

Метрика (26) называется евклидовой метрикой. Метрическое пространство R³ с евклидовой метрикой является моделью непосредственно окружающей человека физической среды.

Метрические пространства как модели социально-психологических явлений являются весьма мощным аппаратом представления в компактном и наиболее удобном для дальнейшего исследования виде больших массивов экспериментальных данных, а также позволяют учитывать сложные взаимовлияния большого числа элементов изучаемых систем. Важнейшими характеристиками таких моделей являются размерность пространства, его метрика и наличие или отсутствие структуры. Типичными примерами таких моделей в психологии являются пространства образов, пространства мнений или суждений, при этом подразделяют пространства коннотативных и денотативных суждений, факторные пространства личности. Эти последние обычно удовлетворяют требованиям линейности. В последнее время также активно исследуются пространства образов (методы с использованием «Семантического дифференциала» и другие) с привлечением методов многомерного статистического анализа. Отметим, что в социально-психологических исследованиях расстояния между образами устанавливаются в процессе обработки данных экспериментального шкалирования объектов по каждому из признаков. При этом взаимодействие признаков рассматривается как артефакт. В предлагаемом же в этой книге подходе именно это взаимодействие (собственно психодинамика) и является основным предметом исследования.