Использование законов вероятностей

Использование законов вероятностей

Мы, почти не задумываясь, ежедневно по многу раз пользуемся вероятностными соотношениями Давайте начнем с одного из немногих примеров, в которых непосредственно приводятся значения вероятности. Многие люди начинают каждый день с того, что читают в утренней газете прогноз погоды. Что вы сделаете, если узнаете, что на сегодня вероятность дождя равна 80 %? Большинство людей отправится на работу или в школу, захватив с собой зонтик. Но что если дождя не будет? Можно ли заключить, что синоптики ошиблись? Если вероятность дождя равна 80 %, то это означает, что из каждых 100 дней с аналогичными погодными условиями 80 дней будут дождливыми. Таким образом, вероятность дождя, как и все вероятностные величины, основана на том, чего можно ожидать в течение длительного времени. Синоптики знают, что в 80 из 100 дней будет дождь, но они не могут знать, в какие именно дни он пойдет.

Предположим, что вы собираетесь жениться в этот гипотетический день и у вас запланирована торжественная церемония на открытом воздухе. Предположим, что в прогнозе погоды указывался дождь с вероятностью 80 %, но дождя не было. Будете ли вы считать, что хорошая погода обусловлена чем-либо, кроме случайности, или что отсутствие дождя является хорошим (или плохим) знаком для вашей свадьбы? Если вы проинтерпретируете хорошую погоду как сигнал небес или волю астральных тел, то вы продемонстрируете пример только что описанного явления — мы ищем смысла в событиях, даже столь, казалось бы, нам неподвластных, как погода, и редко учитываем простые случайности.

Количество случаев, когда мы получаем непосредственные значения вероятности, которые для нас уже подсчитаны, сравнительно невелико. Одна из областей, в которых эта практика расширяется, — это использование медицинских информационных вкладышей, которые помогают пациентам понять все опасности и полезные эффекты от приема определенного лекарства. Администрация по пищевым продуктам и лекарствам требует, чтобы все оральные контрацептивы (противозачаточные таблетки) были снабжены вкладышами со статистической информацией о риске для здоровья, связанном с их приемом. Чтобы прийти к разумному решению на основе приведенной информации, потенциальные покупательницы противозачаточных таблеток должны понимать смысл статистических обобщений, которые приводятся в этих вкладышах.

Возьмем в качестве примера следующий отрывок из текста, вложенного в упаковку противозачаточных таблеток: «По оценкам врачей, одна из 2000 женщин в возрасте от 20 до 44 лет, пользующихся оральными контрацептивами, бывает госпитализирована в связи с нарушением свертываемости крови. Среди женщин того же возраста, не пользующихся этими препаратами, ежегодно госпитализируется одна из 20 000» (Orhto Pharmaceutical Corp., 1979, p. 16). Хотя потребители могут легко понять, что нарушение свертываемости крови более вероятно у тех, кто принимает таблетки, эта информация не имеет большого практического значения, поскольку потребителям оральных противозачаточных средств трудно представить себе, что такое 1 из 2000 — много это или мало; т. е. они не могут ответить на вопрос, опасен ли для них прием таблеток. Два эксперимента на эту тему (Halpern Blackman, 1985; Halpern et al., 1989) показали, что для большинства людей подобная информация почти лишена смысла.

Предположим, вы прочитали, что риск развития болезней сердца у потребителей оральных противозачаточных средств в 10,5 раз больше, чем у тех, кто ими не пользуется. Из такой информации большинство людей сделает вывод, что оральные контрацептивы связаны с существенным риском развития сердечных болезней. Предположим теперь, что вам сообщили, что только у 3,5 женщин из 100 000 потребителей возникают сердечные заболевания. Вы, вероятно, поймете из этой фразы, что применение оральных противозачаточных средств связано с небольшим риском. Рассмотрите «оборотную сторону» этой информации и подумайте, как бы вы оценили безопасность лекарства, если бы прочитали, что у 99 996,5 женщин из 100 000 потребителей не возникнут заболевания сердца. Не кажется ли вам, что это звучит безопаснее? Еще один способ представления той же самой информации — это перевести ее в проценты. Существует лишь 0,0035 % вероятности, что у потребителей оральных контрацептивов возникнут болезни сердца. Большинство женщин теперь сочтет риск, связанный с приемом противозачаточных таблеток, незначительным.

Какое из этих утверждений правильно? Все. Единственное отличие между ними — это способ представления статистической информации, а различные способы представления статистической информации приводят к сильно отличающимся оценкам безопасности (Halpern et al., 1989). При интерпретации статистической информации важно иметь это в виду. Появилась тенденция обеспечивать потребителей статистической информацией о риске, чтобы они могли выносить компетентные суждения на самые разные темы — от лечения определенного вида рака до безопасности ядерной энергии. Хотя тема риска в этой главе будет рассмотрена подробнее, имейте в виду, что лучший способ понять смысл вероятностной величины риска — это выписать все эквивалентные математические значения (например, X из У случаев; риск возрастает во столько-то раз; количество смертельных исходов; количество людей, которые не умрут). Когда одновременно необходимо сравнить большое количество значений, полезно воспользоваться наглядным представлением сравнительных рисков. Во всех главах своей книги, как вы заметили, я рекомендую использование пространственного представления информации (например, круговых диаграмм при интерпретации силлогизмов; графических организаторов для понимания сложных текстов; древовидных схем для принятия разумных решений). Одним из преимуществ, которые это дает, является уменьшение нагрузки на память и возможность наглядно рассматривать несколько различных вариантов.

Игры, основанные на случайности

Америка — страна людей, которые любят играть в различные игры. От Лас-Вегаса до Атлантик-Сити, во всех больших и маленьких городах, расположенных между ними, люди тратят огромное количество времени и денег, играя в игры, где все зависит от случая и искусства игрока. Многие люди только тогда серьезно задумываются о вероятностях, когда играют в азартные игры.

Карты

Игра в карты — повсеместное времяпрепровождение; маленькие дети играют в «дурака» и «пьяницу», а взрослые — в преферанс, бридж, покер, очко и многие другие игры — всех не перечислить. Неопределенность, присущая самой природе игры в карты, делает эту игру еще приятнее (хотя дружеская компания и пиво с солеными сухариками тоже играют свою роль).

Хорошие игроки, независимо от того, в какую игру они играют, понимают и используют законы вероятностей. Давайте рассмотрим определение вероятности применительно к игре в карты. Например, какова вероятность вытянуть наугад туза пик из полной колоды, в которой 52 карты? Вероятность этого события равна 1/52, или примерно 2 %, поскольку существует только 1 туз пик и 52 возможных исхода. Какова вероятность вытянуть туза любой масти из полной колоды карт? Если вы до сих пор следили за изложением материала в этой главе, то понимаете, что ответ равен 4/52, или примерно 8 %, поскольку в колоде из 52 карт имеется 4 туза.

Несмотря на то, что некоторые профессиональные картежники утверждают, что им удалось разработать систему, которая помогает им увеличить свои шансы на выигрыш, в большинстве карточных игр невозможно «обмануть случай», как бы искусен ни был игрок. Трудно сказать, до какой степени правдивы рассказы об удачливых игроках в карты. Профессиональные игроки часто любят хвастаться своими победами и с готовностью забывают о тех случаях, когда они проигрывали. Более того, многие из самозваных экспертов по карточным играм продают свои «беспроигрышные системы». Надеюсь, что вы помните из материала глав, посвященных рассуждениям и анализу аргументации, что когда «эксперт» получает выгоду от продажи товара, его мнение становится сомнительным.

Рис. 7.2. Какую из этих двух комбинаций карт вы можете с большей вероятностью получить при сдаче хорошо перетасованной колоды карт?

По данным Гюнтер (Gunther, 1977), Вере Неттик (реальное лицо) очень повезло. При игре в бридж к ней на руки пришли все 13 бубновых карт. Затаив дыхание, она выиграла большой шлем, имея на руках набор карт, который приходит лишь раз в жизни. Любой статистик немедленно укажет на то, что каждая возможная комбинация карт рано или поздно окажется у кого-то на руках. Поэтому комбинация, доставшаяся этой женщине, не более необычна, чем любая другая, хотя, конечно, она более запоминающаяся. Гюнтер (Gunther, 1977) произвел следующие расчеты.

Существует приблизительно 635 миллиардов возможных комбинаций карт, которые может получить игрок при игре в бридж. Из этих комбинаций восемь можно считать «идеальными», хотя некоторые из них лучше других. Начнем с того, что существует четыре идеальных бескозырных комбинаций. Это сочетание всех четырех тузов, всех четырех королей, всех четырех дам и одного из четырех валетов. Любая из этих четырех комбинаций несомненно идеальна, поскольку все взятки ваши. Чуть менее идеальны, в порядке убывания, комбинации, содержащие все пики, все черви, все бубны и все трефы. Если из 635 миллиардов комбинаций идеальными являются 8, то статистическая вероятность говорит о том, что такая комбинация может появиться в одной из примерно 79 миллиардов попыток. Теперь остается лишь прикинуть, сколько раз американцы ежегодно играют в бридж и сколько раз раздаются карты при каждой игре. При использовании довольно умеренных оценок получается, что в США идеальная комбинация карт приходит на руки к удачливому игроку в бридж примерно один раз в три или четыре года (р. 30).

На самом деле Гюнтер приводит заниженные цифры, поскольку новые колоды карт сложены по мастям в восходящем порядке, так что одно или два «идеальных» тасования могут привести к «идеальному» для бриджа раскладу (Alcock, 1981). («Идеальное» тасование происходит тогда, когда после снятия колоды карты при тасовании ложатся через одну из каждой половины.) И, конечно, при этих вычислениях не учитывалась возможность мошенничества, которое изменяет значение вероятности, поскольку все возможные комбинации карт перестают быть равновероятными. Рассмотрите две комбинации карт, изображенные на рис. 7.2. Если карты раздаются случайным образом, то равновероятны все возможные их комбинации. Эта тема также обсуждается в главе 8.

Рулетка

Рулетку часто считают аристократической игрой. Странно, что она завоевала такую репутацию, поскольку эта игра основана на чистой случайности. В отличие от большинства карточных игр, искусства игры в рулетку не существует. Как вам, вероятно, известно, при игре в рулетку маленький шарик катится по круглому колесу с пронумерованными разноцветными ячейками. Существует 18 красных ячеек, 18 черных и 2 зеленые. Игроки могут делать различные ставки. Можно поставить на то, что шарик попадет в красную ячейку. Какова вероятность этого события при условии, что вероятность попадания шарика в любую ячейку одинакова? Красными являются 18 из 38 ячеек (количество возможных исходов); поэтому вероятность попадания шарика в красную ячейку равна 18/38. Поскольку это число меньше, чем 0,5, мы понимаем, что шарик будет останавливаться в красной ячейке несколько реже, чем в половине случаев. Таким образом, если вы будете постоянно ставить на красное, вы будете проигрывать немного чаще, чем выигрывать. Предположим теперь, что вы ставите на черное. Вероятность выигрыша опять будет равна 18/38; и опять-таки, если вы будете все время ставить на черное, вы будете проигрывать чаще, чем выигрывать. Конечно, играя в рулетку, вы будете иногда выигрывать, а иногда проигрывать, но после многих ставок — в достаточно протяженном интервале времени — вы проиграете.

Шансы или вероятность выигрыша в любом казино всегда распределяются в пользу «хозяев», иначе казино не получали бы прибыли. Тем не менее, одному человеку удалось «обыграть хозяев» в рулетку. Одним из людей, которых я очень уважаю, является Эл Гиббс, ученый, известный своими работами в Лаборатории реактивного движения в Пасадене, штат Калифорния, где выполняются многие работы по программе космических исследований США. Когда он был студентом, он воспользовался своими знаниями теории вероятностей и, играя в рулетку в клубе «Пионер» в Рено, увеличил свое состояние со 125 долларов до $6300. Вот как он это сделал: Гиббс знал, что, несмотря на то, что выпадение любого номера при игре в рулетку равновероятно, все устройства, сделанные руками человека, имеют недостатки. Из-за этого некоторые номера выпадают чаще других. Чтобы определить номера, которые выпадали чаще других, Гиббс вместе со своим другом записал результаты 100 000 запусков рулетки. На эти номера они и стали ставить. К сожалению, никто из нас не сможет повторить его успех, потому что с тех пор колеса стали ежедневно разбирать и собирать заново из других частей. Поэтому, несмотря на то, что каждое колесо остается неидеальным, каждый день его несовершенства меняются.

Вычисление вероятности событий с несколькими возможными исходами

Нас часто интересует вероятность одновременного наступления нескольких событий, например выпадения двух орлов при двух бросках монеты или по крайней мере одной шестерки при двух бросках игральной кости. Ситуации такого рода называются ситуациями с несколькими возможными исходами.

Использование древовидных диаграмм

Хотя довольно легко понять, что вероятность выпадения орла при одном броске «честной» монеты равна? интуитивно определить вероятность выпадения четырех орлов при четырех бросках «честной» монеты несколько труднее. Хотя пример с монетой может показаться искусственным, он хорошо подходит для объяснения сочетания вероятностей при нескольких попытках. Давайте произведем расчеты. (Следите за моими рассуждениями, даже если вы панически боитесь математики. Если вы поработаете над примерами, вычисления и математические рассуждения покажутся вам довольно простыми. Не надо восклицать, взглянув на следующие несколько цифр: «Нет, ни в коем случае, я это просто пропущу». Важно уметь думать с числами и о числах.)

При первом броске может наступить лишь один из двух возможных исходов; орел (О) или решка (Р). Что произойдет, если монету бросят дважды? Существует четыре возможных исхода: орел оба раза (ОО), орел в первый раз и решка во второй раз (ОР), решка в первый раз и орел во второй раз (РО) и решка оба раза (РР). Поскольку существует четыре возможных исхода и лишь один способ выпадения двух орлов, то вероятность этого события равна 1/4 (опять-таки мы предполагаем, что монета — «честная», т. е. выпадение орла и решки равновероятно). Существует общее правило для вычисления вероятности совместного появления нескольких событий в любой ситуации — правило «и». Если вы хотите найти вероятность совместного появления первого и второго события (орел при первом и при втором броске), надо перемножить вероятности наступления этих событий по отдельности. Применяя правило «и», мы находим, что вероятность появления двух решек при двукратном броске монеты равна 1/2 x 1/2 = 1/4. Интуитивно кажется, что вероятность совместного появления двух событий должна быть меньше, чем вероятность каждого из них в отдельности; так оно и оказывается.

Простой способ расчета этой вероятности получается, если представить все возможные события с помощью древовидной диаграммы. Древовидные диаграммы использовались в главе 4, когда мы проверяли правильность утверждений типа «если… то…». В этой главе мы припишем ветвям дерева вероятностные значения, чтобы определить вероятности различных сочетаний исходов. В последующих главах я еще вернусь к древовидным диаграммам при рассмотрении способов нахождения творческих решений задач.

При первом броске монеты она упадет или орлом, или решкой вверх. Для «честной» монеты выпадения орла и решки имеют одинаковую вероятность, равную 0,5. Давайте изобразим это следующим образом:

Когда вы бросаете монету второй раз, то либо за первым орлом последуют второй орел или решка, либо за первой решкой последуют второй орел или решка. Вероятности выпадения орла и решки при втором броске по-прежнему равны 0,5. Исходы второго броска изображаются на диаграмме в виде дополнительных ветвей дерева.

Как видно из диаграммы, существует четыре возможных исхода. Вы можете пользоваться этим деревом для нахождения вероятностей других событий. Чему равна вероятность получения одной решки при двух бросках монеты? Поскольку существует два способа, которыми можно получить одну решку (ОР или РО), ответ равен 2/4 или 1/2. Если вы хотите найти вероятность двух или более различных исходов, сложите вероятности всех исходов. Это называется правилом «или». По-другому эту задачу можно сформулировать так: «Чему равна вероятность получить или сначала орла, а потом решку (1/4), или сначала решку, а потом орла (1/4)?» Правильная процедура нахождения ответа состоит в том, чтобы сложить эти значения, в результате чего получается 1/2. Интуитивно кажется, что вероятность появления одного из нескольких событий должна быть больше, чем вероятность появления каждого из них; так оно и оказывается.

Правилами «и» и «или» можно пользоваться только тогда, когда интересующие нас события независимы. Два события независимы, если появление одного из них не влияет на появление второго. В рассматриваемом примере результат первого броска монеты никак не влияет на результат второго броска. Кроме того, для применения правила «или» необходимо, чтобы события были несовместимыми, т. е. не могли происходить одновременно. В рассматриваемом примере исходы являются несовместимыми, поскольку мы не можем получить и орла, и решку при одном броске.

Представление событий в виде древовидных диаграмм полезно во многих ситуациях. Давайте расширим наш пример. Предположим, что мужчина в полосатом костюме с длинными, подкрученными вверх усами и бегающими маленькими глазками останавливает вас на улице и предлагает сыграть на деньги, бросая монету. Он все время ставит на орла. При первом броске монета падает орлом вверх. При втором броске происходит то же самое. При третьем броске опять выпадает орел. Когда вы начнете подозревать, что у него «нечестная» монета? У большинства людей сомнения возникают при третьей или четвертой попытке. Вычислите вероятность выпадения одних орлов при трех и четырех бросках «честной» монеты (вероятность выпадения орла равна 0,5).

Для расчета вероятности выпадения трех орлов в трех попытках вам надо нарисовать дерево с тремя рядами «узлов», причем из каждого узла исходят две «ветви».

В этом примере нас интересует вероятность выпадения трех орлов подряд при условии, что монета «честная». Посмотрите на столбец, озаглавленный «исход», и найдите исход ООО. Поскольку это единственный исход с тремя орлами, перемножьте вероятности вдоль ветви ООО (обведенной на диаграмме) и вы получите 0,5 х 0,5 х 0,5 = 0,125. Вероятность 0,125 означает, что если монета «честная», то в среднем она будет падать орлом вверх три раза подряд в 12,5 % случаев. Поскольку эта вероятность невелика, то при выпадении трех орлов подряд большинство людей начинает подозревать, что монета «с секретом».

Для расчета вероятности выпадения четырех орлов в четырех попытках добавьте к дереву дополнительные ветви.

Вероятность выпадения четырех орлов равна 0,5 х 0,5 х 0,5 х 0,5 = 0,0625, или 6,25 %. Как вы уже знаете, математически она равна 0,5⁴; т. е. умножить число само на себя четыре раза — это то же самое, что возвести его в четвертую степень. Если вы будете считать на калькуляторе, где есть операция возведения в степень, то вы получите тот же самый ответ — 0,0625. Хотя такой исход возможен и когда-нибудь произойдет, он маловероятен. На самом деле он настолько неправдоподобен и необычен, что многие сказали бы, что человек с бегающими глазками, наверное, жульничает. Несомненно, что при выпадении пятого орла подряд разумно будет заключить, что вы имеете дело с мошенником. Для большинства научных целей событие считается «необычным», если его появление ожидается с вероятностью менее 5 %. (На языке теории вероятностей это записывается так: р ‹ 0,05.)

Давайте оставим искусственный пример с монетой и применим ту же логику в более полезном контексте. Я уверена, что любой студент когда-либо сталкивался с тестами с выбором вариантов, в которых нужно выбирать из предложенных вариантов правильные ответы. В большинстве таких тестов на каждый вопрос предлагается пять вариантов ответов, из которых правилен только один. Предположим, что вопросы настолько трудны, что вы можете только случайно угадать правильный ответ. Какова вероятность правильного угадывания при ответе на первый вопрос? Если вы понятия не имеете, какой из вариантов является правильным ответом, то вы с одинаковой вероятностью можете выбрать любой из пяти вариантов, предполагая, что любой из них может оказаться правильным. Поскольку сумма вероятностей выбора всех вариантов должна быть равна единице, то вероятность выбора каждого из вариантов при равновероятности всех вариантов равна 0,20. Один из вариантов правильный, а остальные — неправильные, поэтому вероятность выбора правильного варианта равна 0,20. Древовидная диаграмма этой ситуации изображена ниже.

Какова вероятность правильно угадать ответы на первые два вопроса теста? Нам придется добавить новые ветви к дереву, которое вскоре станет очень густым. Чтобы сэкономить место и упростить вычисления, можно представить все неправильные варианты в виде одной ветви, обозначенной «неправильные». Вероятность ошибиться при ответе на один вопрос равна 0,8.

Вероятность правильно угадать ответы на два вопроса равна 0,2 х 0,2 = 0,04. То есть случайно это может произойти только в 4 % попыток. Допустим, что мы расширим наш пример до трех вопросов. Я не буду рисовать дерево, но вы должны уже понять, что вероятность равна 0,2 х 0,2 х 0,2 = 0,008. Это настолько необычное событие, что оно может произойти случайно менее чем в 1 % попыток. Что вы подумаете о человеке, которому удалось правильно ответить на все три вопроса? Большинство людей (а преподаватели тоже люди) заключит, что студент не выбирал ответы наугад, а действительно что-то знал. Конечно, не исключено, что ему просто повезло, но это чрезвычайно маловероятно. Таким образом, мы приходим к выводу, что полученный результат не может объясняться только удачей.

Мне хотелось бы отметить одну любопытную сторону таких рассуждений. Рассмотрим плачевную ситуацию, в которую попала Сара. Она отвечала на 15 вопросов теста, где ответ на каждый вопрос надо было выбирать из пяти вариантов. Сара ответила неправильно на все 15 вопросов. Можете ли вы определить вероятность того, что это произошло случайно? Я не буду рисовать древовидную диаграмму для иллюстрации этой ситуации, но легко видеть, что вероятность ошибиться при ответе на один вопрос равна 0,8; поэтому вероятность неправильно ответить на все 15 вопросов равна 0,8¹⁵. Это число 0,8, умноженное само на себя 15 раз, в результате чего получается 0,0352. Поскольку вероятность такой случайности равна 3,52 %, может быть, Саре стоит заявить преподавателю, что такой необычный результат не может объясняться случайностью? Сара, конечно, может привести подобный довод, но поверили бы вы ей на месте преподавателя? Предположим, она утверждает, что знала ответы на все вопросы. Как иначе она смогла бы не выбрать правильный вариант ответа в 15 вопросах подряд? Я не знаю, сколько преподавателей поверили бы ее утверждению, что 15 неверных ответов доказывают наличие у нее знаний, хотя в принципе такой ход рассуждений используется для доказательства наличия знаний, поскольку вероятность правильно угадать все ответы примерно такая же. (В этом примере вероятность наугад ответить правильно на все 15 вопросов равна 0,20¹⁵; это число значительно меньше 0,0001.) Если бы преподавателем Сары была я, то я бы поставила ей высокие оценки за творческий подход и понимание статистических принципов. Не исключено, что Сара действительно что-то знала на эту тему, но в этом «чем-то» была систематическая ошибка. Я бы также указала ей на то, что, возможно, она не подготовилась к тесту, а вдобавок ей еще и не повезло, и она сделала 15 неверных догадок. В конце концов, иногда случаются и очень необычные события.

Перед тем как перейти к чтению следующего раздела, проверьте, понимаете ли вы, как применять древовидные диаграммы для расчета вероятностей и учета всех возможных исходов. В этой главе я еще вернусь к таким диаграммам. Когда вы научитесь их использовать, вы будете удивлены, как много существует ситуаций, в которых они могут применяться.

Ошибка при конъюнкции — применение правила «и»

Тверски и Канеман (Tversky Kahneman, 1983) составили следующую задачу.

Линде 31 год, она откровенный и прямой человек и очень способна. В колледже она выбрала в качестве основного предмета философию. Когда она была студенткой, ее волновали проблемы расовой дискриминации и социальной справедливости; кроме того, она участвовала в антиядерных демонстрациях.

Для каждого из следующих утверждений укажите вероятность того, что это утверждение служит описанием Линды.

A. Линда работает учительницей в начальной школе.

Б. Линда работает в книжном магазине и занимается йогой.

B. Линда активно участвует в движении феминисток.

Г. Линда работает социальным психиатром.

Д. Линда является членом Лиги женщин-избирателей.

Е. Линда работает кассиром в банке.

Ж. Линда работает страховым агентом.

З. Линда работает кассиром в банке и активно участвует в движении феминисток.

Теперь прекратите чтение и оцените вероятность истинности каждого из утверждений (р. 297).

Этот небольшой отрывок про Линду был написан в качестве характерного описания активной феминистки, чему соответствует утверждение В. Таким образом, если воспользоваться распространенным стереотипом «типичной феминистки», то правдоподобным описанием является В. Обратите внимание на утверждения Е (кассир) и 3 (феминистка и кассир). Как вы оценили вероятность истинности этих утверждений? Большинство людей считает, что истинность 3 более вероятна, чем истинность Е. Понимаете ли вы, что Е должно быть более вероятным утверждением, чем 3, если быть кассиром в банке и быть феминисткой — события независимые? Бывают кассиры, которые не принимают активного участия в феминистском движении. При определении вероятности совместного появления двух событий вы перемножаете вероятности их появления по отдельности (правило «и»). Таким образом, вероятность совместного появления этих событий должна быть меньше, чем вероятность каждого из этих событий. В исследовании Тверски и Канемана (Tversky Kahneman, 1983) 85 % субъектов оценили вероятность истинности утверждения 3 выше, чем Е. Ошибка, возникающая, когда люди считают, что совместное появление двух событий более вероятно, чем появление одного из них, называется ошибкой конъюнкции.

Для тех читателей, которым легче воспринимать пространственную информацию, давайте представим задачу в виде круговых диаграмм — такая форма представления использовалась при рассмотрении силлогизмов в главе о рассуждениях. Пусть один круг представляет всех на свете банковских кассиров, а другой — всех феминисток. Эти два круга должны наложиться друг на друга, потому что некоторые банковские кассиры являются одновременно феминистками. На рис. 7.3 область пересечения кругов заштрихована. Как видно из рис. 7.3, заштрихованная область, которая представляет всех людей, одновременно являющихся кассирами и феминистками, должна быть меньше, чем круг, представляющий всех кассиров, потому что существуют кассиры, которые не являются феминистками.

Рис. 7.3. Два круга представляют «всех феминисток» и «всех банковских кассиров».

Пересечение этих двух кругов представляет тех людей, которые одновременно являются феминистками и банковскими кассирами. Поскольку существуют феминистки, которые не работают кассирами, и кассиры, которые не являются феминистками, область пересечения кругов должна быть меньше, чем каждый из них в отдельности.

Теперь, когда вы поняли, в чем заключается ошибка конъюнкции, попробуйте ответить на другой вопрос (также взятый из работы Tversky Kahneman, 1983):

В Британской Колумбии проводилось обследование здоровья мужчин из выборки, где были представлены все возрастные группы и профессии.

Пожалуйста, приведите свои оценочные значения следующих величин:

Какова процентная доля обследованных мужчин, которые перенесли один или более инфарктов? _____

Какова процентная доля обследованных мужчин в возрасте старше 55 лет, которые перенесли один или более инфарктов? _____ (р. 308)

Теперь прекратите чтение и вставьте на пропущенные места свои оценочные цифры.

Более 65 % респондентов считали, что процентная доля мужчин, которые старше 55 лет и перенесли инфаркт, будет больше, чем процент всех мужчин, которые перенесли инфаркт. Вы заметили, что это еще один пример ошибки конъюнкции? Вероятность совместного появления двух случайных событий не может быть выше, чем вероятность появления только одного из них.

Совокупный риск — применение правила «или»

Очевидно, что вероятность случайно ответить правильно на три вопроса, при наличии пяти вариантов ответов на каждый из вопросов, будет значительно меньше, чем вероятность правильно угадать ответ на один вопрос. Ясно также, что вероятность правильно угадать ответ хотя бы на один вопрос из трех будет выше, чем вероятность правильно угадать ответ, когда вопрос всего один. До сих пор я специально подбирала простые примеры. Давайте выясним, как применять рассмотренные принципы в реальной жизненной обстановке.

В реальной жизни риск, как правило, связан с многократным попаданием в рискованную ситуацию. Рассмотрим вождение машины. Вероятность попасть в аварию при одной поездке на машине очень невелика. Но что будет с вероятностью аварии, если вы совершаете сотни или тысячи поездок? Согласно правилу «или», она будет равна вероятности аварии при первой, или при второй, или… при n-й поездке. Шекли (Shaklee, 1987) провела интересное исследование того, как люди понимают концепцию совокупного риска. Она предложила субъектам значения вероятностей, которые соответствовали риску наводнения в течение года. Затем субъектам надо было оценить вероятность наводнения в течение одного месяца, 5 лет, 10 лет и 15 лет. Только 74 % субъектов понимали, что вероятность наводнения увеличивается, если рассматривать интервал времени более одного года. Среди тех, кто дал более высокие оценки вероятности наводнения за интервалы более одного года, большинство серьезно недооценивали совокупную вероятность.

Давайте рассмотрим аналогичный пример. При применении метода контрацепции, эффективного на 96 % из расчета на год, в среднем у четырех женщин из каждых ста, пользующихся этим методом, в течение года наступит беременность. Предполагая, что уровень неудач не зависит от времени, следует ожидать, что при применении этого метода в течение 15 лет забеременеет больше женщин, а при его применении в течение более 15 лет количество беременностей будет еще больше (Shaklee, 1987). При опросе студентов колледжа оказалось, что только 52 % студентов понимало, что количество ожидаемых беременностей возрастает со временем, а большинство из них существенно недооценивало число беременностей.

Вероятно, идея, которую я пытаюсь донести до читателя, уже ясна: при определении риска важно понимать, относится ли предлагаемое вам значение вероятности к какой-либо единице времени (например, год), и осознавать, что совокупный риск увеличивается при повторении рискованной ситуации. Создается впечатление непонимания многими того, что совокупные риски выше, чем однократные.