Как мыслят математики

Если уж выбирать среди всех областей знания такую, какой не бывать без реструктуризации, – и ей, следовательно, есть чему нас научить в новаторстве и творческом мышлении, – это математика. Большинство из нас понятия не имеет, как математики мыслят, но ловкость, с которой они создают альтернативные рамки восприятия для всяких сложных вопросов, для нас очень поучительна.

Возьмем задачку, которая на самом деле математическая, хоть и прикидывается бытовой загадкой. Есть шахматная доска восемь на восемь и тридцать две костяшки домино. Каждая костяшка домино покрывает собой две горизонтально или вертикально соседствующие клетки, и легко сообразить, как расставить кости, чтобы закрыть ими все шестьдесят четыре клетки. А теперь представьте, что мы выкидываем из игры одну костяшку домино и выключаем две клетки доски – из двух диагонально противостоящих углов. Можно ли накрыть оставшиеся шестьдесят две клетки тридцатью одной костью? Независимо от того, положительный вы даете ответ или отрицательный, объясните его. Класть кость так, чтобы она торчала за пределы доски, нельзя.

Берясь решать эту загадку, большинство людей пробует по-всякому размещать костяшки на доске, а затем, когда ничего не выходит, начинает подозревать, что замостить вот так всю доску невозможно[98]. Но как это доказать? Пробовать один неудачный вариант за другим – не метод, поскольку вариантов слишком много.

Загадка «вырезанной доски» – усложненная разновидность простой задачи с собакой и костью. У загадки есть простой ответ, но чтобы его добыть, необходимо взглянуть на поставленный вопрос в новых рамках, реструктурировав его так, чтобы отставить буквальные попытки накрыть всю доску и переформулировать задачу по-новому. Как?

Ключ вот в чем: вместо того, чтобы формулировать задачу как поиск в пространстве способов расставить домино по всей доске, сформулируйте ее в понятиях поиска в пространстве законов, управляющих расстановкой домино на доске. Разумеется, сперва придется сформулировать сами законы. Вот, например: каждая кость домино покрывает две клетки. Еще что-нибудь приходит на ум? Когда выявите все мыслимые правила – а их немного, – рассмотрите вопрос, можно ли покрыть всю обрезанную доску костяшками домино в контексте этих правил. Выяснится, что есть правило, которое придется нарушить, иначе не удастся покрыть всю доску костяшками, а потому ответ «нет, нельзя».

Эту загадку вы, скорее всего, разгадали, если додумались вот до этого закона: поскольку каждая костяшка закрывает два соседних квадрата, следовательно, любая костяшка на доске покрывает одну белую и одну черную клетку. Этот закон означает, что разместить костяшки на доске, где белых и черных клеток не поровну, никак не получится. У полной шахматной доски белых и черных клеток одинаковое число, а потому этот закон не возбраняет расстановку костяшек так, чтобы покрыть всю доску. А вот у обрезанной доски при вынутых двух диагонально противоположных уголках тридцать две белые клетки и тридцать черных (или наоборот), и, соответственно, согласно закону, обрезанную доску костяшками домино не обставить никак.

Анналы математики и решение большинства задач вообще в любых областях знания можно рассматривать как постоянную борьбу с бесплодными рамками мышления оружием реструктурирования. Вот вам пример из настоящей математики: каково решение уравнения x² = – 1? Поскольку квадрат любого числа – число положительное, предложение кому бы то ни было решить эту задачу равносильно вопросу: «У тебя есть два фунта камбалы и морковка. Как будешь варить говяжье рагу?» Долгие века математики считали, что ответа здесь не существует. Но они мыслили в рамках обычной математики – ныне мы называем это «действительные числа».

В XVI веке итальянский математик Рафаэль Бомбелли осознал, что, пусть квадратный корень из – 1 не есть число, которое мы, допустим, можем показать на пальцах, это не означает, что это число бесполезно для нас умозрительно. В конце концов, мы же используем отрицательные числа, а они тоже никак не соответствуют ни пальцам на руках, ни каким бы то ни было другим физическим величинам. Пятьсот лет назад случилась Бомбеллиева великая реструктуризация: давайте воспринимать числа как абстракции, подчиняющиеся правилам, а не как конкретные сущности. Исходя из этого Бомбелли задался вопросом, могут ли существовать те или иные законные математические рамки, в которых возможно существование квадратного корня из – 1, независимо от того, можно ли такими числами считать или измерять что-то вещественное?[99]

Бомбелли подходил к вопросу так: предположим, такое число в самом деле существует. Ведет ли это к логическому противоречию? Если не ведет, то каковы были бы у этого числа свойства? Ученый обнаружил, что число, удовлетворяющее равенству x² = – 1, не ведет к логическому противоречию, и успешно выяснил кое-какие прежде неизведанные свойства этого числа. Ныне мы обозначаем число Бомбелли буквой i и называем его мнимым числом.

Мнимые числа теперь преподают на обычных уроках математики. Толковые старшеклассники запросто осваивают то, что большинство серьезных средневековых ученых не могло ни постичь, ни принять, потому что, как и идея увеличенных порций, это противоречило парадигме тогдашней привычной мысли.